the depths of smth.

Манера обращения принца с теми самыми лицами, которые, к удивлению Вронского, из кожи вон лезли, чтобы доставлять ему русские удовольствия, была презрительна. (Л. Толстой, Анна Каренина) — The prince's manner of treating the very people who to Vronsky's surprise were ready to descend to any depths to provide him with Russian amusements, was contemptuous.

- Купец-то ему, вишь, на обитель обещался капитальцу отвалить, вот старик и лезет из кожи вон, старается. (Л. Леонов, Русский лес) — 'You see, the merchant promised to give him money for a monastery, so the old chap is trying his hardest to earn it.'

Савчук из кожи лез вон, чтобы услужить футболистам, хотя они и отвечали ему открытой неприязнью. (А. Борщаговский, Тревожные облака) — Savchuk went out of his way to do the footballers some service, in spite of their obvious dislike for him.

Про других говорят: "Этот работяга что надо!", а про тебя: "Этот из кожи лезет за деньгой", хотя и ты и другие делают, в сущности, одно и то же! (Г. Владимов, Большая руда) — Of others they said, 'That fellow's a hard worker,' but of you they said, 'There's a fellow who'll kill himself to make an extra ruble!' Although, both you and that other fellow are actually doing the same thing!

- Из кожи вон вылезу, а Алёшку с Петькой буду учить музыке. (Е. Маркова, Чужой звонок) — 'I'll work my fingers to the bone, but I'll make sure Alexei and Pyotr study music'